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　　向你介绍我是谁

　　

　　程 鹏

　　○浙江省温州市鹿城区实验小学

　　○朱乐平数学名师工作站“一课研究”团队第11组组员

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　　本期内容有哪些

　　(1) 听一听：《第十二章数学能力强的学生信息搜集》P278—P283音频

　　(2) 读一读：《第十二章数学能力强的学生信息搜集》P278—P283文字稿

　　(3) 想一想：问答时间

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　　轻轻松松听听书

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　　坚持阅读八分钟

　　《中小学生数学能力心理学》

　　第十二章数学能力强的学生信息搜集P278—P283

　　以上对开头三个系列的学生的解题过程作了充分的说明。让我们仔细考察一下那些 “没有问题的题目”和“缺少数据的题目”。

　　这两种情况都是在有函数性依赖关系的数量的复合体中缺少一个元素。（这些题目是有意那样编的）。有能力的学生能正确地指出所缺少的问题或数据，这就意味着他们感知了数据的完整的复合体和题目的结构，并意识到题目中缺少了某个元素。如果没有看到这个复合体，那就不能看到问题或不能指出缺少的数据。而且，有能力的学生也不会被多余的信息所干扰。他们自信地选择出解题所必需的有关数字，而完全不注意其它不必要的材料。平常的、特别是能力差的学生完全是另一回事。

　　实验表明能力中等的学生对一道新类型的题目开始时仅仅感知分散的事实，吸引他们的开头那些具体数据。在这一点上，大多数能力中等的学生（和几乎所有的没有能力的学生）并不感知或意识到题目中的隐藏问题。因此，把问题变变花样，就会使这些学生感到很大困难。最后，就是为什么大多数平常的学生和能力差的学生难以指出已知条件中“漏掉”了什么，或者对解题来说缺少了什么。

　　我们常常惊奇地看到，甚至在最容易的问题中加上多余的条件，也会把能力差的学生搞糊涂。这些学生不能有比较地估计具体的量，不能确定量的“层次”，因此也就不能区分出什么数量对解题是必要的，什么数量是不必要的。

　　数学能力差的学生，思维的弱点特别表现在对这样一些问题的解答上，即解答这些问题要求根据问题成分的相互关系把它 “看成”一个整体。如对“

　　”这一种类型的问题，他们不能把它看成是两个数之和的立方的展开式，因为他们孤立地去看每一项，相互之间没有任何联系。如果有些能力差的学生能正确地解答了这个问题，他们的答案也是“不合规矩 的”，仅仅是由第一项和最后一项凑合而成的。

　　这个系列的总的数据将在下面给出，但在这里我们先引用解答实验问题的记录作为例子来明上面所说的一切。

　　举例一

　　实验问题是:“在两个仓库中共有420立方米木材，其中的一个仓库有x立方米”。此时，一个能力强的学生p.k.h.立即接着说“那么另一个仓库中有(420 —x)立方米”。

　　实验者说：“等一等，你以前做过有关的作业了吗？”

　　学生说: “我也没有做什么，只是说有三个量，现在已经知道两个：420和x,而第三个显然就是420—x。”

　　举例二

　　一个能力强的学生S.L解这样一个题“两个城市之间的距离是225公里，两列火车同时从两地开出，一列客车每小时行50公里，一列货车每小时行40公里，几小时后两列火车相遇?”看到这个问题后S.L立即问：“它们是相对而开呢？还是快的去追 慢的？”

　　实验者：“你为什么要问这个？”

　　学生：“嗯，因为这是一道关于路程、速度和时间的问题，有距离，求时间，但是没有速度”

　　实验者：“怎么？在这个题中，两列火车毎小时行驶 50和40公里，就是两个速度。”

　　学生:“没告诉运行方向，如果火车是相对而开我就要用加法，一个如果去追另一个，我就要用减法。”

　　举例三

　　再看另外一个例子。能力强的学生V.L.正在做这个题：“如果在一天24小时结束以前，从24点开始以来已经过去的时间是 4/5,即比过去的半数还多，那么现在是什么时间？”

　　学生:“哎呀， 这是一个容易的问题。只是我不知道为什么要说这样的话，这是完全多余的。”

　　实验者：“为什么是多余？

　　学生 : “因为没有这些多余的话我也能够求出答案”。

　　实验者：你解释一下。”

　　学生： “这里主要是整体和它的部分，而这又具有一定的关系，这种关系是1:4/5。整体是24小时，我们就能算出这个部分，为什么要说这些多余的话。”

　　我们经常看到能力强的学生解这三个系列问题时，能对问题的材料作出这种估量并予以系统化。

　　举例四

　　能力强的学生运用二项式平方公式

　　解题时也出现了类似的情况。他们能很容易地抓住必要的数学关系（两个数之和的平方），并且撇开具体的数（即a和b所代表的具体数）。换句话说，当他们一拿到题目时，就会用（□ + □）的平方 = ?这种公式来套象

　　这样的问题。而能力差的学生只是死盯着这个公式中的“第一个”和“第二个”数——难以理解a和b可以代表任何量和任何数。因此，能力差的学生不能独立地抽象出问题结构的“框架”。

　　举例五

　　一个数学能力差的六年级学生V.K.试着解这样一个题。“一瓶蜂蜜重500克，同样一瓶装满煤油重350克，空瓶重多少？”花了很长肘间，也没有做出来。他看不出题目给的条件不足，而且不听实验者给他的启发，甚至给他指出这个漏掉的条件时（蜂蜜是煤油重量的2倍），很长时间内他还不理解这一点。一个数学能力强的三年级学生也解过这个题目。当他看到问题条件时，疑惑地 看着实验者并且问：“后来呢?”

　　实验者：“没有了，这就是全部问题。”

　　学生：“不，这不是全部问题，还要知道蜂蜜比火油重多少。”

　　实验者：“为什么?”

　　学生：“不知道这个，就可能有许多解。 有两个未知量，它们有一部分是相等的。这个相等的部分可以有各种可能性，为了限定这种可能性我们必须引入一种数量关系， 才能求出新的量。”

　　问题理解结构的差异

　　能力强的学生对数学问题的感知或者说最初定向还有另一个特点。维果特斯基注意到由于在推理中省略了个别环节而使推理过程缩短了。波果亚夫连斯基和梅钦斯卡娅也提到，在一定条件下，有可能一拿到题目就能迅速地“抓住”问题的结构，从而省略了详细的推理过程。在实验中我们常常观察到，能力强的学生在他们对问题的最初定向中（如果不是问题太复杂）省略了许多过程，几乎是在看到问题的最初一瞬间就把许多环节“结合在一 起”，因此，分不出推理过程的细节。数学能力强的学生感知数学问题时，分析综合定向活动常常就是如此直接和省略。

　　问题理解时间上的差异

　　往往我们可以做这样一种比较，也就是说，数学能力平常或差的学生感知问题结构时的时间与数学能力强的学生感知问题结构时的时间是不同。当然，这种差别主要是心理定向不同。平常的学生看到题目时所进行的分析综合定向活动是一种按部就班的分析综合过程，在时间上拖得比较长。而能力强的学生看到题目时所进行的分析综合活动是迅速而简短的，以至于常常造成这样的印象，好象他们不是循序进行的，只是凭借这种感知，就一下子抓住了问题的结构，从而对基本数学关系作出迅速的判断。实际确实如此，能力强的学生看到一个问题时，撇开了问题的所有具体数值，并且看透具体数值，立即抓住问题的“核心”。

　　在许多外国和苏联心理学家的著作中，可以看到他们也把迅速“抓住”问題的基本关系与缓慢、连续展开的分析综合过程作了一个类似的对比。卡尔梅科娃正是这样做的，但没有与能力问题联系起来。但是，她在其最新著作中已开始把分析综合活动之迅速和容易与心理发展的水平联系起来。克利科夫、加特凯维奇、谢列勃里亚科娃和安东诺娃也注意到了这个问题。方法论学家多布雷宁娜区分出列方程式的三种心理运算类型。第一种类型的特点就是（看到了问题之后）能立即抓住问题的基本关系，而第三种类型的特点是逐渐探索其中的函数关系。

　　举例六

　　在我们的实验中，刚刚熟悉二项式和的平方这一公式的那些数学能力强的学生，当他们看到二项式和的平方这一式子时，能立即想出它的展开式，而当他们看到其展开式时，也能立即想到这是二项式和的平方——他们是把这个问题作为典型的问题来领会的。而要对他们的分析综合过程进行追踪常常是不可能的。平常的学生遇到“一个代数式”或“一个问题”时，只有当进行一定的分析综合定向活动后（如果从前反复练习过解这类例题，定向活动就是独立进行的；如果还不熟练，就需要在实验者的帮助下进行定向活动），才能辨别出这个代数式的类型，是“和的平方”，还是别的类型。

　　这里有几个例子oS.L.在九岁时就学会了求两个数平方差的公式。现在让她解

　　这个题目，几乎是即刻（问题提出后的1 一2'秒钟）她就髙兴地叫起来:“这是一个平方减法（也就是平方差）。

　　一个普通的六年级学生（也熟悉平方差的公式）拿到这个題大约需要5分钟分析综合定向活动（在实验者的帮助下)。

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　　问答时间

　　1、能力强的能力平常的学生对信息搜集有什么不同？

　　2、能力强的学生处理信息的方式是怎样的？

　　

　　

本期审核：杨叶珍 赵苏琴